↰ powrót do programu studiów

Algebra liniowa

Sylabus zajęć

Informacje podstawowe

Kierunek studiów

Specjalność

Jednostka organizacyjna

Wydział Biologii

Poziom studiów

Studia pierwszego stopnia

Forma studiów

Studia stacjonarne

Profil studiów

Profil ogólnoakademicki

Cykl dydaktyczny

2021-2024

Języki wykładowe

Polski

Obligatoryjność

Obowiązkowy

Blok zajęciowy

Przedmioty nieprzypisane

Koordynator zajęć

prof. UAM dr hab. Maciej Radziejewski, Wydział Matematyki i Informatyki UAM

Prowadzący zajęcia

prof. UAM dr hab. Maciej Radziejewski, Wydział Matematyki i Informatyki UAM

Okres

Semestr 1

Forma zajęć / liczba godzin / forma zaliczenia

Wykład: 15, Ćwiczenia/laboratoria: 15, Zaliczenie z oceną

Liczba punktów ECTS

3.0

Cele kształcenia dla zajęć

Zapoznanie się z podstawowymi pojęciami, twierdzeniami oraz zadaniami algebry liniowej.

Wymagania wstępne

brak wymagań wstępnych

Efekty uczenia się dla zajęć

Symbol EU dla zajęć/przedmiotu	Po zakończeniu zajęć i potwierdzeniu osiągnięcia EU student/ka:	Symbole EK dla kierunku studiów
Efekt_01	posiada wiedzę z teorii podstawowych struktur algebraicznych
Efekt_02	zna podstawy algebry macierzy
Efekt_03	potrafi zbadać rozwiązalność układów liniowych równań algebraicznych, potrafi je rozwiązywać za pomo operacji elementarnych
Efekt_04	zna algorytm eliminacji Gaussa
Efekt_05	ma wiedzę na temat podstawowych własności i metod obliczania wyznaczników
Efekt_06	ma wiedzę na temat podstawowych własności i metod obliczania wyznaczników z zastosowaniem do rozwiązywania układów równań
Efekt_07	ma wiedzę na temat podstaw teorii przestrzeni liniowych, potrafi badać własności liniowych kombinacji wektorów
Efekt_08	zna pojęcie i własności przekształcenia liniowego, umie wyznaczyć macierz takiego przekształcenia; zna pojęcie podobieństwa macierzy i potrafi je realizować
Efekt_09	potrafi formułować i rozwiązywać zagadnienie własne
Efekt_10	zna własności spektralne wybranych klas macierzy; potrafi interpretować postać Jordana
Efekt_11	zna podstawy teorii form kwadratowych, potrafi zweryfikować ich określoność i wyznaczyć ich postacie kanoniczne
Efekt_12	posiada wiedzę dotyczącą podstaw przestrzeni eukildesowych

Treści programowe

Lp.	Treści programowe dla zajęć/przedmiotu	Symbol EU dla zajęć/przedmiotu
1.	Podstawowe struktury algebraiczne: grupa, pierścień, ciało.	Efekt_01
2.	Weryfikacja własności grupy. Grupy permutacji, pierścień wielomianów, algorytm Euklidesa, NWD.	Efekt_01, Efekt_12
3.	Algebra macierzy, macierz transponowana, macierz hermitowsko-sprzężona	Efekt_02
4.	Rachunek macierzowy, macierz transponowana, macierz permutacyjna, macierz hermitowsko-sprzężona. Iloczyn skalarny wektorów	Efekt_02
5.	Macierze elementarne, macierze odwracalne, algorytm wyznaczanie macierzy odwrotnej do macierzy trójkątnej	Efekt_02
6.	Macierze trójkątne, odwracanie macierzy trójkątnych	Efekt_02
7.	Wyznaczanie postaci zredukowanej i całkowicie zredukowanej, rząd macierzy, Twierdzenie Kroneckera-Capellego	Efekt_02
8.	Operacje elementarne, postać zredukowana, rząd macierzy, twierdzenie Kroneckera-Capellego. Odwracanie macierzy za pomocą operacji elementarnych	Efekt_02
9.	Rozwiązywanie układów liniowych równań algebraicznych za pomocą algorytmu eliminacji Gaussa	Efekt_03
10.	Układy o macierzach kwadratowych i prostokątnych. Układy równań z macierzami o elementach z ciał skończonych	Efekt_03
11.	Własności wyznacznika, minory, twierdzenia Laplace'a i Cauchy'ego, obliczanie wyznacznika z wykorzystaniem rozkładu macierzy na iloczyn czynników trójkątnych. Rząd macierzy z wykorzystaniem wyznaczników	Efekt_03, Efekt_05
12.	Obliczanie wyznacznika: z definicji, w oparciu o schemat Sarrusa, z twierdzenia Laplace'a, z rozkładu na czynniki trójkątne (LU). Pojęcie minora i badanie rzędu. Metoda minorów obejmujących	Efekt_03, Efekt_05
13.	Macierz dołączona i obliczanie macierzy odwrotnej do macierzy nieosobliwej. Wzory Cramera.	Efekt_02, Efekt_03
14.	Macierz dołączona i obliczanie macierzy odwrotnej. Wzory Cramera - porównanie z metodą eliminacji Gaussa w kontekście obliczeń na dużych układach równań	Efekt_02, Efekt_03, Efekt_04
15.	Przestrzenie liniowe, wektory, liniowa niezależność wektorów, baza i wymiar przestrzeni liniowej, podobieństwo macierzy, macierz przejścia od bazy do bazy.	Efekt_07
16.	Przykłady przestrzeni liniowych. Operacje na wektorach. Badanie liniowej niezależności wektorów. Baza przestrzeni liniowej i macierz przejścia od bazy do bazy	Efekt_08
17.	Przekształcenie liniowe, macierz przekształcenia liniowego, podobieństwo macierzy, macierze podobne.	Efekt_08
18.	Podprzestrzenie niezmiennicze, wektory i wartości własne, wielomian charakterystyczny.	Efekt_07
19.	Rozwiązywanie zadania własnego. Zależności pomiędzy wyznacznikiem i śladem macierzy, a wartościami własnymi.	Efekt_05, Efekt_06, Efekt_09
20.	Diagonalizacja macierzy, twierdzenie Jordana, wielomian minimalny i dzielniki elementarne. Twierdzenie Rayleigh'a-Ritza.	Efekt_10
21.	Interpretacja informacji zawartej w postaci Jordana.	Efekt_10
22.	Formy kwadratowe, metoda Lagrange'a i Jacobiego sprowadzania do postaci kanonicznej, badanie określoności.	Efekt_11
23.	Przestrzenie liniowe z iloczynem skalarnym, przekształcenia: ortogonalne, unitarne, samosprzężone. Formy kwadratowe	Efekt_11

Informacje dodatkowe

Metody i formy prowadzenia zajęć
Wykład z prezentacją multimedialną wybranych zagadnień
Wykład konwersatoryjny
Wykład problemowy
Dyskusja
Rozwiązywanie zadań (np.: obliczeniowych, artystycznych, praktycznych)
Metoda ćwiczeniowa
Metody aktywizujące (np.: „burza mózgów”, technika analizy SWOT, technika drzewka decyzyjnego, metoda „kuli śniegowej”, konstruowanie „map myśli”)
Wykład zdalny w czasie rzeczywistym
Ćwiczenia zdalne w czasie rzeczywistym

Sposoby oceniania	Symbole EK dla modułu zajęć/przedmiotu
Sposoby oceniania	EK_1	EK_2	EK_3	EK_4	EK_5	EK_6	EK_7	EK_8	EK_9	EK_10	EK_11	EK_12
Kolokwium pisemne	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x

Kryteria oceniania wg skali stosowanej w UAM
bardzo dobry (bdb; 5,0):	powyżej 90% punktów
dobry plus (+db; 4,5):	powyżej 80% punktów
dobry (db; 4,0):	powyżej 70% punktów
dostateczny plus (+dst; 3,5):	powyżej 60% punktów
dostateczny (dst; 3,0):	powyżej 50% punktów
niedostateczny (ndst; 2,0):	50% punktów lub mniej

Literatura

Wydawnictwa książkowe

Nakład pracy studenta i punkty ECTS

Forma aktywności	Średnia liczba godzin^* na zrealizowanie aktywności
Godziny zajęć (wg planu studiów) z nauczycielem	30
Praca własna studenta:
Przygotowanie do zajęć	10
Czytanie wskazanej literatury	10
Przygotowanie pracy pisemnej, raportu, prezentacji, demonstracji, itp.
Przygotowanie projektu
Przygotowanie pracy semestralnej
Przygotowanie do egzaminu / zaliczenia	25
SUMA GODZIN	75
LICZBA PUNKTÓW ECTS DLA MODUŁU ZAJĘĆ/PRZEDMIOTU	3

* godzina (lekcyjna) oznacza 45 minut